由中国数学会数理逻辑专业委员会主办，北京大学哲学系承办的 2024 年全国数理逻辑年会于十月二十五至二十七日在北京大学成功举办。大会包括一场公众报告、五场全会报告和十二场分组报告，内容涵盖了数理逻辑的各核心领域以及哲学逻辑和计算机逻辑。特邀报告人来自于美国圣母大学、俄罗斯科学院、新加坡国立大学、南开大学、南京大学、中山大学、复旦大学、清华大学以及北京大学等国内外十余个高校或科研院所。大会吸引了来自全国各地 23 所高校 150 余名师生注册参会，为历届数理逻辑年会中规模最大的一次，促进了数理逻辑及其应用领域学者广泛深入的学术交流。

 

 

本次会议的公众报告安排在常规议程开始之前的二十五日下午，在北京大学数学科学学院智华楼丁石孙教室举行，由南开大学讲席教授高速老师主讲，报告的标题是《数学中分类问题的复杂性》。高速教授也是北京大学数学系(数学科学学院前身) 85 级校友，他在报告之前饶有兴致地向大家回顾了北京大学前校长、前数学系主任丁石孙先生与数理逻辑的渊源，并展示了丁石孙先生五十年代末翻译的卢津的《解析集合论讲义及其应用》，认为丁先生可能是第一位将描述集合论这个领域引入中国的人。在报告中，为了引入描述集合论这个领域中的基本问题，高速教授介绍了三个不同领域中的完全分类结果：它们分别是拓扑中对可定向紧二维曲面的同胚分类，代数中对复方矩阵的相似分类，以及遍历论中对贝努利位移系统的保测同构分类。紧接着，高速教授引入了 Borel 函数的概念来刻画一种基于可数信息的“可定义”或“可计算”的直观，并通过 Borel 函数定义了更一般的对于一个拓扑空间上的等价关系的完全分类，以及不同分类问题之间的 Borel 归约。接下来，高速教授介绍了一个重要的无穷 01-序列上的等价关系 E₀，并介绍了两个关于 E₀ 的重要结果：实数上的等于关系可以严格 Borel 归约到 E₀，以及 E₀ 可以 Borel 归约到所有保测变换的保测同构关系。这证明了对于贝努利位移系统的保测同构分类结果不可能推广到所有的保测变换，从而展示了描述集合论工具对于证明完全分类的不可能性结果的一个具体应用。最后，高速教授介绍了许多目前已知的分类问题的基准复杂度以及它们之间的归约关系，展示了目前对于分类问题复杂度研究的整体图景。随后，高速教授也介绍了许多来自数学的各个不同领域（如拓扑、代数、遍历论、几何、动力系统等等）的分类问题的复杂度之间的关系，从而展示了描述集合论工具如何能为数学的各个领域中对于分类问题的研究提供一个更一般的视角。这些结果向我们展示了描述集合论的理论工具、研究方法和潜力。在最后的问答环节中，高速教授进一步澄清了关于在分类问题复杂度研究中所使用的拓扑的相关问题，以及 Borel 函数所刻画的“可定义性”或“可计算性”与更传统的基于有穷信息的可计算性概念之间的关系等。

 

 

大会在 26 日上午于北京大学勺园七号楼弘雅厅正式开幕。开幕式上，北京大学哲学系主任程乐松教授首先代表承办方欢迎到会的各位嘉宾学者，之后北京大学哲学系逻辑学教研室主任邢滔滔教授简要回顾了数理逻辑在北京大学发展的早期历史，最后中国数学会数理逻辑专业委员会主任南开大学的丁龙云教授代表主办方致辞并宣布大会正式开幕。

 

 

 

来自美国圣母大学的 Natasha Dobrinen 教授是二十六日上午第一场大会报告的主讲人，报告的标题是《无穷结构的拉姆塞理论和逻辑》。无穷拉姆塞定理（infinite Ramsey theorem）指出，对于将所有自然数对染成两种颜色的任何染色方案，存在一个无穷的自然数子集，使得其中所有的数对都被染成相同的颜色。当从集合转向关系结构时，一些不一样的现象就出现了：典型的例子是，对于有理数对的二染色，存在一种方案，使得在任何形成稠密线性序的有理数子集中，两种颜色都同时存在。类似地，对于 Rado 图中的边染色也是如此。对一个有限子结构在一个无穷结构中的所有副本的有穷染色的最优同色子结构界限的研究就是大拉姆塞度（big Ramsey degrees）的主题。最优界限与结构扩展密切相关，后者会产生类似于无穷拉姆塞定理的结果；寻找最优结构扩展的过程促成了逻辑与结构拉姆塞理论之间的新联系。Dobrinen 教授在本次演讲介绍了大拉姆塞度、一些关键的例子以及其特征的内在本质，触及与拓扑拉姆塞空间相关的无穷维结构拉姆塞理论。她讨论了多种证明方法，包括 Milliken 的强树定理（strong tree theorem）、Harrington 的 Halpern-Läuchli 定理的力迫证明（forcing proof）、编码树及其上的拉姆塞定理等。

 

 

来自新加坡国立大学的孙业能教授是二十六日上午第二场大会报告的主讲人，报告的标题是《从模型论到数理经济学》。孙业能教授首先指出，许多经济学数学模型中会使用连续统多个经济主体，但 Doob 的不相容结果指出在通常的对连续统多个有独立随机性的经济主体建立的数学模型中无法实现经济主体各自的随机策略的独立性。接下来，孙业能教授介绍了如何运用模型论中发展的非标准分析思想和工具来解决这一长期存在的问题，并在经典非标准分析模型外进一步提出简化后的富比尼扩张乘积空间，并在此框架下证明了适用于连续统多个独立随机变量的大数定律。最后，孙业能教授介绍了他们的工作如何为连续统多个主体间的随机匹配过程提供首个数学上正确的模型，并指出尽管长期以来经济学家普遍不关注非标准分析所提供的坚实数学基础，但近期一些知名学者也开始引用这方面的工作成果。

 

 

来自北京大学的助理教授姚博凯老师在二十六日上午带来了集合论分组的第一场报告，题目是《基数可定义性与选择公理的小违反》。一般来说，基数可定义的意思是存在一个类函数 F 使得对任意存在双射的集合 x 和 y 有 F(x) = F(y)。这样的函数在没有选择公理的集合论 ZF 中是可以定义的。但是，如果假设存在不是集合的对象，也就是无素（urelements）的存在，情况就变得不一样了：在允许无素集合论 ZFUR 中，基数不能被直接定义。姚博凯老师在报告中证明如果在 ZFUR 中引入 Blass 提出的的“选择公理的小违反” (SVC)，也即选择公理在某个力迫扩张中成立，那么基数就是可以定义的了。在报告的最后姚博凯老师提出了一系列重要的猜想并提出基数可定义性或者说休谟原则有可能可以统一许多在 ZFUR 下不等价的重要的集合论公理。

 

 

来自北京雁栖湖应用数学研究院的李文娟博士在二十六日上午带来了递归论分组的第一场报告，题目是《概率 ω-语言的决定性强度》。李文娟老师首先以一个生成无穷 01-序列的无穷博弈作为例子，引入了 Gale-Stewart 博弈的概念。随后，李文娟老师定义了 Gale-Stewart 博弈中的决定性的概念；本次报告的主题则是考虑特定类型的自动机所接受的无穷语言所对应的 Gale-Stewart 博弈在决定性方面的性质。李文娟老师首先定义了非决定性 Büchi 自动机和 Büchi 下推自动机，并介绍了被它们所接受的无穷语言，以及这些无穷语言对应的 Gale-Stewart 博弈的决定性在递归论和反推数学方面的已知结果。接下来，李文娟老师介绍了概率 Büchi 自动机的概念：在这类自动机中，概率分布取代了单纯的非决定性，而其所接受的无穷语言也不仅与接受条件有关，还要基于特定的概率语义，因此也比非决定性 Büchi 自动机的情况更加复杂。随后，李文娟老师着重讨论了基于阈值语义的概率自动机接受的无穷语言，以及这类无穷语言对应的 Gale-Stewart 博弈的决定性强度。最后，李文娟老师总结了目前已知的关于决定性强度的结果，并对未来的研究方向做了展望。

 

来自中山大学的王玮教授是二十六日下午的大会报告的主讲人，报告的标题是《算数片段中可定义的组合原则》。在一阶算数语言上我们容易表达以下不同版本的鸽巢原理：Σₙ-PHP (任何 Σₙ 公式都不能定义从前 k+1 个自然数到前 k 个自然数的单射)，Σₙ-CARD (任何 Σₙ 公式都不能定义从全体自然数到某个自然数的前段的单射)，Σₙ-GPHP (对任何 a 都存在 b 使得不存在任何从前 b 个自然数到前 a 个自然数的 Σₙ 公式可定义的单射)，以及 Σₙ-WPHP (任何 Σₙ 公式都不能定义从前 2k 个自然数到前 k 个自然数的单射)。在较弱的一阶算数理论中这些鸽巢原理都不可证，但也有着自然的反推数学意义。王玮教授介绍了这些鸽巢原理产生的背景以及最近关于它们的逻辑关系的结果，特别是为什么在 IΣₙ 理论中 Σₙ₊₁-CARD 不能证 Σₙ₊₁-GPHP，而 Σₙ₊₁-GPHP 也不能证 Σₙ₊₁-WPHP。

 

 

来自复旦大学上海数学中心的于静博士在二十六日下午带来了集合论分组的的第二场报告，题目是《Borel 图在格中的嵌入》。于静老师首先指出该工作是从渐近几何和描述集合论的角度研究具有多项式增长速度的图。接下来，于静老师介绍了 Krauthgamer 和 Lee 提出的定理以及她与 Anton Bernshteyn 以多种方式对这一结果的加强和推广。特别地，为了回答 Papasoglu 的一个问题，他们构造了从多项式增长图到 n 维整数格的粗嵌入。由于这项工作中的所有的结果都是基于 Borel 图进行证明的，这使得描述组合数学中的一些问题能够被解决。最后，于静老师具体介绍了他们的证明以及一些推论。

 

 

来自南京晓庄学院的刘勇老师在二十六日下午带来了递归论分组的第二场报告，题目是《3-c.e. 度的分裂性质》。刘勇老师首先回顾了图灵归约和图灵度的概念以及 Shoenfield 极限引理，并由引入了 n-c.e.集的概念。接下来，李勇老师引入了分裂性的定义：一个集合可分裂意味着它的图灵度是两个严格小于它的图灵度的最小上界。之后，刘勇老师介绍了一个集合 D 的 Lachen 集 L(D)的定义以及它的一些基本性质，并回顾了 Sacks，Cooper 和 Yamaleev 关于 1-c.e.和 2-c.e.集的分裂性的结果。在接下来的时间里，刘勇老师较为详细地证明了存在一个 3-c.e.集，使得 L(D)可严格图灵归约到 D，但任何图灵度不大于 D 的 3-c.e.集要么和 D 具有相同的图灵度，要么可归约到 L(D)。这说明了存在不可分裂的 3-c.e.集。最后，刘勇老师简要讨论了上述构造在 n ≥ 4 时的推广，以及这些关于 n-c.e.集的分裂性的结果与 Downey 猜想的关系。

 

 

来自南开大学的肖鸣博士在二十六日下午带来了集合论分组的第三场报告，题目是《超限 Borel 等价关系的一个序分析》。肖鸣老师首先回顾了描述集合论中的一些基本定义并定义了报告的主要研究对象：hyper-hyperfinite Borel 等价关系和 hyperfinite-over-hyperfinite Borel 等价关系。在进一步回顾了关于这类等价关系的已有结果之后，肖鸣老师分析了整数序结构如何连接这两类等价关系，并具体分离出一种被称相容性的性质。利用这一概念，肖鸣老师得到了本报告的主要定理：一个 hyperfinite-over-hyperfinite Borel 等价关系是超限的当且仅当它有一个自相容的见证。最后，肖鸣老师进一步地详细探讨了相容性，并展示了一个典范的不相容对象。

 

 

来自南京大学的 Daniel Mourad 博士在二十六日下午带来了递归论分组的第三场报告，题目是《一阶问题的多种应用》。Mourad 老师首先引入了实例-解问题的概念：在该类问题中，一个实例可对应多个解，而能够计算一个实例-解问题则意味着能够为每个实例计算一个解。接下来，他定义了这类问题之间的 Weihrauch-归约，并给出了实例-解问题上的多种并行构造。随后他介绍了两类特殊的实例-解问题：一阶问题和 mass 问题。他讨论了 mass 问题间的归约关系，以及一阶问题与 mass 问题的关系。接下来，Mourad 老师引入了可计算不连续性的概念，并证明了一个一阶问题如果在某个实例 X 上可计算不连续，且 X 的解集可计算，那么该问题与图灵解码函数的复合得到的问题是不可统一计算的；这一证明在思想上和对停机问题的不可判定性的经典证明有相似之处。借助这一结果，他也证明了几种一阶问题的有穷并行之间的 Weihrauch-归约关系。最后，Mourad 老师给出了更多实例-解问题与经典递归论概念的联系，以及对上述结果在概念层面上的解读。

 

 

来自复旦大学的副教授姚宁远老师随后带来了模型论分组的第一场报告，题目是《论 p-进闭域中的可定义群》。姚宁远老师首先介绍了 dfg 群的相关概念。在一个实闭域的 o-极小扩展中，任何可定义群 G 总包含一个极大的无挠可定义子群 H，使得商群 G/H 是一个可定义紧致群。在 p-进闭域中，具有可定义 f-泛型（f-generic）的群（简称 dfg 群）是 o-极小语境下的无挠群的自然地推广。接下来，姚宁远老师展示了在 p-进闭域中任何可定义群 G 也包含一个子群 H ，该子群在所有 dfg 子群中具有最大维数，从而确保商群 G/H 是可定义紧致的。此外， G 中任意一对具有最大维数的 dfg 子群都是几乎共轭的。当 G 是一个可定义顺从群时， H 是几乎正规的。除此之外，姚宁远老师还展示了一些关于 p-进简单代数群的结果，比如如何解决对 p-进闭域的 Kneser-Tits 猜想。

 

 

来自中山大学的文学锋教授则在平行会场带来了哲学逻辑分组的第一场报告，题目是《像做物理一样做逻辑：条件与模态的一种逻辑理论》。文学锋老师首先援引罗素的观点，提到一个逻辑理论解决谜题（puzzle）的能力是对于该理论的一个重要的检验标准。随后。文学锋老师介绍了许多关于逻辑和模态的谜题，包括著名的实质蕴涵谜题、对肯定前件推理及否定后件推理的反例，以及和认知模态“Might”有关的谜题。为了解决这些谜题，文学锋老师引入了一种新的关于条件句和模态的逻辑：这是一种三值逻辑，且公式的真值由当前可能世界和语境共同决定；在这种逻辑中，我们可以区分多种不同的推理关系、逻辑等价关系以及不一致的概念。文学锋老师展示了基于这种语义的逻辑的一些良好性质，并借助在这一逻辑中能做出的精确概念区分，以一种统一的方式解决了包括先前介绍的谜题在内的许多谜题。最后，文学锋老师也展望了未来可能的研究方向，包括该逻辑的一阶推广以及证明论等。

 

 

来自厦门大学马来西亚分校的 Jan Dobrowolski 副教授是模型论分组第二场报告的主讲人，报告的题目是《赋值差分域的融合性和存在封闭性》。Dobrowolski 老师首先回顾了他与合作者证明的带有一个自同构的有序阿贝尔群组成的类具有融合性的结果，并由此引发的新问题：哪些赋值差分域的融合问题是有解的？通过观察无解情形，在赋值差分域上添加角分量同态或者截面同态成为了常见的做法。在简要介绍定义后，Dobrowolski 老师讲解了这两种融合问题有解与否的问题如何可以用这两种信息归约到简单情况，以及在假设这两种额外信息的时候我们如何得到简洁的对存在封闭性的刻画。最后，Dobrowolski 提出了一系列猜想和新问题。

 

 

来自清华大学的石辰威副教授是哲学逻辑分组的第二场报告的主讲人，报告的题目是《布尔模态逻辑和补算子模态逻辑的公理化》。石辰威老师首先介绍了布尔模态逻辑（Boolean modal logic）：相较于命题动态逻辑（propositional dynamic logic），布尔模态逻辑以及与之类似的带有补算子或交算子的模态逻辑受到的关注较少，一个重要的原因在于这些逻辑的完全性难以通过典范模型直接得到统一的证明；而本次报告则会给出一种新的公理化策略，使得这类逻辑的完全性可以更简单地得到证明。石辰威老师首先考虑了较为简单的仅带有补算子的模态逻辑，在传统的公理化的基础上加入了新的推理规则，并基于这个新的公理化构造了一种新的典范模型，在其中很多常见框架性质都具有典范性。随后，石辰威老师将这一结果推广到了完整的布尔模态逻辑，从而以一种统一的方式证明了多个框架类上布尔模态逻辑的完全性。在报告的最后，石辰威老师讨论了这一工作的一些可能的拓展。

 

 

来自韩国高等科学院的 Joonhee Kim 博士在二十七日上午进行了模型论分组的第三场报告，题目是《集合上 NSOP1 理论的 Kim 独立性的存在性》。模型论中的一个核心概念是模型的子集间的独立性。与此相关，一类重要的定理将理论的复杂性和满足一定性质的独立性关系在该理论的模型上存在与否联系起来。Kim 博士首先回顾了 NSOP1 理论和 Kim 独立性的定义以及 Nicholas Ramsey 和 Itay Kaplan 的重要结果，并说明了该结果中对 Kim 独立性关系的相对于模型的性质要求。这些定义是相对于模型的，而 kim 博士和他的合作者们正尝试验证类似的结果是否相对于集合仍然成立。随后 Kim 博士讲解了本报告的主要定理，该定理证明在 NSOP1 理论下从足够强的预独立关系生成的相对于集合定义的 Kim-独立关系满足存在性。这标志着该推广计划的部分成功。最后 Kim 博士讨论了未来的研究方向。

 

 

来自南开大学的李延军副教授作了哲学逻辑分组的第三场报告，题目是《完全模态不动点逻辑中的意外考试悖论》。李延军老师首先介绍了意外考试悖论（surprise exam paradox）和公开宣告逻辑（public announcement logic），以及 Gerbrandy 通过公开宣言逻辑对意外考试悖论的形式化，其中悖论故事中老师的宣告被形式化为一种不自指的宣告。但在哲学讨论中，也有很多学者认为这里的宣告应该被理解为一种自指的宣告。李延军老师先简要介绍了 Baltag 等学者通过拓扑语义对后一种解读的形式化。接下来，李延军老师引入了一种同时具有公开宣告算子和不动点算子的逻辑，其中，为了表达自指宣告，不动点算子的定义与标准的定义有所不同。随后，李延军老师在该逻辑中对意外考试悖论的自指解读提供了另一种形式化，而这一形式化也指向了和 Baltag 等学者的工作相同的结论：即在意外考试悖论中老师的宣告是假的，但并不是一个矛盾。最后，李延军老师介绍了关于这种新的不动点逻辑的表达力方面的一些结果，并讨论了可能的进一步研究方向。

 

 

来自俄罗斯科学院的 Lev Beklemishev 教授是二十七日上午第一场大会报告的主讲人，报告的题目是《可证性逻辑的拓扑模型》。Beklemishev 教授首先介绍了可证性逻辑和拓扑语义。可证性逻辑将模态词解释为算数理论中的一致性断言。20 世纪 70 年代，Harold Simmons 和 Leo Esakia 提出了拓扑语义，他们将模态词解释为一种拓扑导集运算（topological derivative operation），并建立了可证性逻辑的 Löb 公理与散射拓扑空间（scattered topological space）类之间的对应关系。随着多模态可证性逻辑（GLP）的出现——这些逻辑常常是克里普克不完全的——拓扑语义成为了一个重要的研究课题，它与证明论、集合论和模态逻辑之间都有一些有趣的联系。接下来，Beklemishev 教授概述了这一领域的研究成果和当前存在的开问题，并介绍了他与北京大学王云崧同学合作的基于周期集的一般拓扑框架的 GLP 语义。总的来说，可证性逻辑、拓扑学和无穷组合数学之间有着一些有趣的联系，需要进一步的研究；从应用于 GLP 研究的角度来看，之前已有的拓扑模型仍然过于“庞大”，实用性不强；周期框架为 GLP 提供了具体的、构造性的语义，具有良好的应用潜力。

 

 

来自电子科技大学的 Bakh Khoussainov 教授是二十七日上午第二场大会报告的主讲人，报告的题目是《字结构及其自动机表示》。Khoussainov 教授首先介绍了可数无穷结构如何可以通过有穷自动机来表示并得到一系列重要问题的可判定性。而字结构是形如 (ω, S), (ω, S, U), (ω, ≤, U) 这样的结构，其中 ω 是自然数，S 是自然数上的后继函数，而 U 是某个一元谓词。字结构尽管简单，但其自动机表示可以非常复杂。接下来，Khoussainov 教授概述了当前自动机可表示结构研究领域的现状并着重介绍了两个他与合作者证明的关于词结构的新结果：一个自动机表示所表示的是不是 (ω, S) 结构这个问题是不可判定的；两个表示了形如 (ω, S, U) 结构的自动机表示是否表示的是同构的结构的问题是不可判定的。最后，Khoussainov 教授讨论了在形如 (ω, ≤, U) 结构上的自动机表示同构问题的部分进展，并进一步提出了一系列有潜力的研究方向。

 

 

会议还进行了中国数学会数理逻辑专业委员会的改选，新一届的数理逻辑专业委员会主任由南开大学高速教授担任。会议闭幕式上高速教授代表新一届专委会感谢了各位报告人、参会师生和组织者并宣布会议圆满闭幕。